Question

17．已知函数f（x）=sin2x+sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）将f（x）的图象沿x轴向左平移m（m＞0）个单位，所得函数g（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{8}$对称，求m的最小值及m最小时g（x）在$[0，\frac{π}{4}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得g（x）在$[0，\frac{π}{4}]$上的值域．

解答 解：（1）函数$f（x）=sin2x+sin（2x-\frac{π}{3}）$=sin2x+sin2xcos$\frac{π}{3}$-cos2xsin$\frac{π}{3}$
=$\frac{3}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）将f（x）的图象沿x轴向左平移m（m＞0）个单位，所得函数g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+2m-$\frac{π}{6}$）的图象，
根据所得图象关于直线x=$\frac{π}{8}$对称，可得$\frac{π}{4}$+2m-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即m=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，故m的最小值为$\frac{5π}{12}$．
此时，g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{2π}{3}$）=$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$），
在$[0，\frac{π}{4}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$]，即g（x）在$[0，\frac{π}{4}]$上的值域为[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和图象的对称性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．