Question

3．集合A={（x，y）|y=a|x|，x∈R}，B={（x，y）|y=x+a，x∈R}，已知集合A∩B中有且仅有一个元素，则常数a的取值范围是[-1，1]．

Answer 1

分析 由已知得a|x|=x+a有1个解，由此能求出常数a的取值范围．

解答 解：∵集合A={（x，y）|y=a|x|，x∈R}，B={（x，y）|y=x+a，x∈R}，
集合A∩B中有且仅有一个元素，
∴a|x|=x+a有1个解，
若x≥0，ax=x+a，x=$\frac{a}{a-1}$，
若x＜0，-ax=x+a，x=-$\frac{a}{a+1}$，
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{a-1}≥0}\\{-\frac{a}{a+1}≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{a-1}＜0}\\{-\frac{a}{a+1}＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{-\frac{a}{a+1}＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{a+1}≥0}\\{a=-1}\end{array}\right.$，
解得-1≤a≤1．
∴常数a的取值范围是[-1，1]．
故答案为：[-1，1]．

点评 本题考查常数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．