Question

14．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ²=$\frac{3}{1+2co{s}^{2}θ}$，直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$．
（Ⅰ）写出曲线C₁与直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C₁上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：3=ρ²+2ρ²cos²θ，由ρ²=x²+y²，$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosx}\\{y=ρsinx}\end{array}\right.$即可求得3x²+y²=3，ρ=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$．直线l的直角坐标方程x+y=4；
（Ⅱ）由题意可知：Q（cos θ，$\sqrt{3}$sin θ），则点Q到直线l的距离d=$\frac{|cosθ+\sqrt{3}sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{丨2（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）-4丨}{\sqrt{2}}$，根据正弦函数的性质，即可求得Q点到直线l距离的最小值．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁的极坐标方程为ρ²=$\frac{3}{1+2co{s}^{2}θ}$，3=ρ²+2ρ²cos²θ，由ρ²=x²+y²，$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosx}\\{y=ρsinx}\end{array}\right.$
∴3=x²+y²+2x²，
整理得：3x²+y²=3，
曲线C₁的方程3x²+y²=3，
ρ=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$．则ρsinθ+ρcosθ=4，即x+y=4，
直线l的直角坐标方程：x+y=4．…（4分）
（Ⅱ）设Q（cos θ，$\sqrt{3}$sin θ），则点Q到直线l的距离d=$\frac{|cosθ+\sqrt{3}sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{丨2（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）-4丨}{\sqrt{2}}$，
=$\frac{丨2sin（θ+\frac{π}{6}）-4丨}{\sqrt{2}}$≥$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
当且仅当θ+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，
即θ=2kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z）时，
Q点到直线l距离的最小值为$\sqrt{2}$．…（10分）

点评 本题考查曲线参数方程与普通方程的转化，考查正弦函数的性质的应用，考查计算能力，属于中档题．