Question

定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=

x2-x，x∈[0，1) -( 1 2 )|x- 3 2 |，x∈[1，2)

则当x∈[-4，-2）时，函数f（x）的最小值为（　　）

• A、-

  1

  16

• B、-

  1

  4

• C、-

  1

  2

• D、-

  1

  8

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：由条件f（x+2）=2f（x）推出f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），即f（x）=

1

4

f（x+4），再分当-4≤x＜-3与当-3≤x＜-2两种情况，带入分段函数分别求出最小值．

解答： 解：∵f（x+2）=2f（x），∴f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），即f（x）=

1

4

f（x+4），
由-4≤x＜-2，得0≤x+4＜2，
当-4≤x＜-3时，0≤x+4＜1，∴f（x）=

1

4

f（x+4）=

1

4

[（x+4）²-（x-4）]，由于对称轴x+4=

1

2

，故当x+4=

1

2

时，f(x)min=

1

4

[(

1

2

)2-

1

2

]=-

1

16

；
当-3≤x＜-2时，1≤x+4＜2，∴f（x）=

1

4

f（x+4）=-

1

4

(

1

2

)|x+4-

3

2

|=-

1

4

(

1

2

)|x+

5

2

|，
由于复合函数y=-

1

4

(

1

2

)t为增函数，又|x+

5

2

|≥0，故当x+

5

2

=0时，f(x)min=-

1

4

(

1

2

)0=-

1

4

；
综上f（x）取最小值-

1

4

，
故选：B．

点评：本题考查分段函数的应用，考查函数的最值及运用，同时考察二次函数、复合函数求最值，计算应细心．