Question

已知f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x²-2|x|+m（m∈R）是定义在R上的两个函数，则下列命题：
①函数f（x）的图象关于直线x=0对称；
②关于x的方程f（x）-k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是k∈（0，1）；
③关于x的方程f（x）=g（x）恰有四个不相等实数根的充要条件是m∈[0，1]；
④若?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）＜g（x₂）成立，则m∈（-1，+∞）；
其中正确的例题有

 

（写出所有正确例题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：画出函数f（x）=-2|2|x|-1|+1的图象，利用图象法可判断①和②，分析指定区间上f（x）与g（x）的值域，进而将存在性问题转化为最值问题后，可判断③和④

解答： 解：因为f（x）=-2|2|x|-1|+1为偶函数，所以函数f（x）的图象关于直线x=0对称，故①正确；
作出f（x）=-2|2|x|-1|+1如图所示，可知，关于x的方程f（x）-k=0恰有四个不相等实数根的充要条件为k∈（-1，1），故②错误；
在同一坐标系中作出f（x）=-2|2|x|-1|+1和y=x²-2|x|的图象，由图象可知当m∈(-1，

7

4

)时方程f（x）=g（x）恰有四个不相等实数根，故③错；
由题可知，只需当x∈[-1，1]时f（x）_min＜g（x）_max即可．易得f（x）_min=-1，g（x）_max=m，所以m∈（-1，+∞），所以④正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件的判断，函数的最值以及函数的图象的应用，是中档题．