Question

设函数f（x）满足：
①对任意实数m，n都有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n）；
②对任意m∈R，有f（1+m）=f（1-m）；
③f（x）不恒为0，且当x∈（0，1]时，f（x）＜1．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并给出你的证明；
（3）定义：“若存在非零常数T，使得对函数F（x）定义域中的任意一个x，均有F（x+T）=F（x），则称F（x）为以T为周期的周期函数”．试证明：函数f（x）为周期函数，并求出f(

1

3

)+f(

2

3

)+f(

3

3

)+…+f(

2017

3

)的值．

Answer 1

考点：函数的周期性,抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由于f（x）不恒为0，故存在x₀，使f（x₀）≠0，令m=x₀，n=0，可得f（0），令m=n=1，即得f（1）；
（2）令m=0，n=x，由条件，即可得到奇偶性；
（3）由f（1+m）=f（1-m）得f（-x）=f（2+x），又f（x）为偶函数，则f（x+2）=f（x），即f（x）以2为周期的周期函数，
运用周期，即可得到所求值．

解答： 解：（1）由于f（x）不恒为0，故存在x₀，使f（x₀）≠0，令m=x₀，n=0，
则f（x₀）+f（x₀）=2f（x₀）f（0），
则f（0）=1．令m=n=1，则f（2）+f（0）=2f²（1），
又f（0）=f（2），则f²（1）=1，则f（1）=±1，
由已知，f（1）＜1，故f（1）=-1；
（2）令m=0，n=x，得，f（x）+f（-x）=2f（0）f（x）=2f（x），
即有f（-x）=f（x），即有f（x）为偶函数；
（3）由f（1+m）=f（1-m）得f（-x）=f（2+x），又f（x）为偶函数，
则f（x+2）=f（x），即f（x）以2为周期的周期函数，
令m=n=

1

3

，f（

2

3

）+f（0）=2f²（

1

3

），即f（

2

3

）+1=2f²（

1

3

），
再令m=

2

3

，n=

1

3

得，f（1）+f（

1

3

）=2f（

2

3

）f（

1

3

），即f（

1

3

）-1=2f（

2

3

）f（

1

3

）．
而f（

2

3

）＜1，解得，f（

1

3

）=

1

2

，f（

2

3

）=-

1

2

，由条件得，f（

1

3

）=f（

5

3

），f（

2

3

）=f（

4

3

），
故f（

1

3

）+f（

2

3

）+…+f（

6

3

）=0，f（x）以2为周期的周期函数，
则f(

1

3

)+f(

2

3

)+f(

3

3

)+…+f(

2017

3

)=336×0+f（

2017

3

）=f（

1

3

）=

1

2

．

点评：本题考查函数的周期性和奇偶性及运用，考查运算能力，考查抽象函数的解决方法：赋值法，属于中档题．