Question

已知函数f（x）=2^ax+2（a为常数）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若a＞0，时证明f（x）在R是增函数；
（3）当a=1时，求函数y=f（x），x∈（-1，3]的值域．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）定义域是使函数表达式有意义的x的取值集合；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，用函数单调性的定义证明；
（3）由第一问a＞0时f（x）在R是增函数；故当a=1时，函数y=f（x），x∈（-1，3]时递增，所以f（-1）＜f（x）≤f（3）．

解答： 解：（1）函数f（x）=2^ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为R      
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
由a＞0得ax₁+2＜ax₂+2
因为y=2^x在R上是增函数，
所以有2^ax₁+2＜2^ax₂+2，
即f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）在R上是增函数                                 
（3）由（2）知当a=1时，f（x）=2^x+2在（-1，3]上是增函数
所以f（-1）＜f（x）≤f（3）
即2＜f（x）≤32
所以函数f（x）的值域为（2，32]

点评：本题主要考查函数的单调性，利用单调性求函数的值域，属于基础题．