Question

对于点集A={（x，y）|x=m，y=-3x+2，m∈N^*}，B={（x，y）|x=n，y=a（x²-x+1），a∈Z，n∈N^*}，是否存在非零整数a，使得A∩B=∅？

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：当A∩B≠∅时，-3x+2=a（x²-x+1），ax²+（3-a）x+a-2=0有正整数解，解得a=-1，从而当A∩B=∅时，a≠-1，且a是非零整数．

解答： 解：当A∩B≠∅时，-3x+2=a（x²-x+1），
ax²+（3-a）x+a-2=0①有正整数解，
∴△=（3-a）²-4a（a-2）=-3a²+2a+9是平方数，
∴3a²-2a-9≤0，

1-2 7

3

≤a≤

1+2 7

3

，
a≠0，a∈Z，
∴a=±1，或a=2，
a=-1时△=4，这时①变为-x²+4x-3=0，解得x₁=1，x₂=3，
A∩B={（1，-1），（3，-7）}．
a=1时△=8，不是平方数．
a=2时△=1，这时①变为2x²+x=0，没有正整数解．
∴当A∩B=∅时，a≠-1，且a是非零整数．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，函数性质的合理运用．