Question

设集合P={z|z

.

z

-2iz+2i

.

z

-12=0，z∈C}，Q={w|w=

3

2

iz，z∈P}．
（1）在复平面内P，Q对应点的集合表示什么图形；
（2）设z∈P，w∈Q，求|z-w|的最大值与最小值．

Answer 1

考点：复数求模,复数的代数表示法及其几何意义

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）设z=x+yi，x、y∈R；求出x、y满足的关系式，即可得出P表示的图形是什么，同理求出Q表示的是什么图形；
（2）由|z-w|=|z-

3

2

iz|，求出|z|的取值范围，即得|z-w|的最值．

解答： 解：（1）P中，设z=x+yi，x、y∈R；
则（x+yi）（x-yi）-2i（x+yi）+2i（x-yi）-12=0，
即x²+y²+4y-12=0，
∴x²+（y+2）²=16；
它表示以点（0，-2）为圆心，4为半径的圆；
Q中，设w=x+yi，z=x₁+y₁i，x、y、x₁、y₁∈R，且x12+(y1+2)2=16；
∵w=

3

2

iz，
∴x+yi=

3

2

i（x₁+y₁i）=

3

2

x₁i-

3

2

y₁，
∴

x1= 2 3 y y1=- 2 3 x

；
即(

2

3

y)2+(-

2

3

x+2)2=16，
化简得（x-3）²+y²=36，
∴Q表示的是以点（3，0）为圆心．半径为6的圆；
（2）∵|z-w|=|z-

3

2

iz|=|z||1-

3

2

i|=

13

2

|z|，
∴4-2≤|z|≤2+4，
∴

13

2

×2≤|z-w|≤

13

2

×6，
即

13

≤|z-w|≤3

13

；
∴|z-w|的最大值是3

13

，最小值是

13

．

点评：本题考查了复数的概念与应用的问题，也考查了复数求模的运算问题，解题时应用数形结合的思想，是中档题．