Question

在平面直角坐标系xOy中，钝角α+

π

4

的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合．若α+

π

4

的终边与圆x²+y²=1交于点（-

3

5

，t）．
（1）求cosα和sinα的值；
（2）设f（x）=cos（

πx

2

+α），求f（1）+f（2）+…+f（2014）的值．

Answer 1

考点：余弦函数的图象,任意角的三角函数的定义

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据三角函数的定义，求出sin（α+

π

4

）、cos（α+

π

4

）的值，从而求出cosα、sinα的值；
（2）求出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）、f（5）的值，得出f（x）是以4为周期的函数，从而求出f（1）+f（2）+…+f（2014）的值．

解答： 解：（1）根据三角函数的定义，且α+

π

4

为钝角，得
sin（α+

π

4

）=t=

4

5

，cos（α+

π

4

）=-

3

5

，
即

2

2

（sinα+cosα）=

4

5

，

2

2

（cosα-sinα）=-

3

5

，
cosα=

2

10

，sinα=

7 2

10

；
（2）∵f（x）=cos（

πx

2

+α），
∴f（1）=cos（

π

2

+α）=-sinα=-

7 2

10

，
f（2）=cos（π+α）=-cosα=-

2

10

，
f（3）=cos（

3

2

π+α）=sinα=

7 2

10

，
f（4）=cos（2π+α）=cosα=

2

10

，
f（5）=cos（

5π

2

+α）=-sinα，
…，
∴f（x）是以4为周期的函数，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0；
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）=f（1）+f（2）=-

7 2

10

-

2

10

=-

4 2

5

．

点评：本题考查了三角函数求值的问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题以及三角恒等变换问题，是综合题．