Question

已知数列{a_n}为等差数列，{a_n}的前n项和为S_n，a₁+a₃=

3

2

，S₅=5．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足a_nb_n=

1

4

，T_n=b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1，若不等式2kT_n＜b_n恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用a1+a3=

3

2

，S₅=5，建立方程组，求出几何量，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求数列的和，从而问题转化为kn²-（1-k）n-2＜0恒成立，构造f（n）=kn²-（1-k）n-2，分类讨论，确定f（n）在[1，+∞）上为单调递减函数，即可求实数k的取值范围．

解答： 解：（1）∵a1+a3=

3

2

，S₅=5，
∴

2a1+2d= 3 2 5a1+10d=5

∴a1=

1

2

，d=

1

4

…（3分）
∴an=

n+1

4

…（5分）
（2）∵an=

n+1

4

，anbn=

1

4

，∴bn=

1

n+1

…（6分）
∴bnbn+1=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴T_n=b₁b₂+b2b3+b3b4+…+bnbn+1=

1

2

×

1

3

+

1

3

×

1

4

+

1

4

×

1

5

+…

1

n+1

×

1

n+2

=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

…（8分）
∴2kSn-bn=

kn

n+2

-

1

n+1

=

kn2-(1-k)n-2

(n+1)(n+2)

由条件，可知当kn²-（1-k）n-2＜0恒成立时即可满足条件．
设f（n）=kn²-（1-k）n-2，
当k＞0时，由二次函数的性质，知kn²-（1-k）n-2＜0不可能恒成立；
当k=0时，f（n）=-n-2＜0恒成立；
当k＜0时，由于对称轴直线n=

(1-k)

2k

=

1

2k

-

1

2

＜-

1

2

∴f（n）在[1，+∞）上为单调递减函数，
∴只要f（1）＜0，即可满足kn²-（1-k）n-2＜0恒成立．
由f(1)=k-(1-k)-2＜0，得k＜

3

2

，又k＜0，∴k＜0
综上可知，当k≤0时，不等式2kS_n＜b_n恒成立．…（12分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确求和是关键．