Question

11．已知$f（x）={（{log_{\frac{1}{2}}}x）^2}-2{log_{\frac{1}{2}}}x+4，x∈[{2，4}]$
（1）设$t={log_{\frac{1}{2}}}x，x∈[{2，4}]$，求t的最大值与最小值
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）$t={log_{\frac{1}{2}}}x，x∈[{2，4}]$，可得t在x∈[2，4]上是减函数，即可得出．
（2）f（x）=t²-2t+4=（t-1）²+3=g（t），可得g（t）在t∈[-2，-1]单调递减，即可得出值域．

解答 解：（1）$t={log_{\frac{1}{2}}}x，x∈[{2，4}]$，
∴t在x∈[2，4]上是减函数，∴x=2时t有最大值$lo{g}_{\frac{1}{2}}2$=-1；x=4时t有最小值$lo{g}_{\frac{1}{2}}4$=-2．
（2）f（x）=t²-2t+4=（t-1）²+3=g（t），
∴g（t）在t∈[-2，-1]单调递减，∴t=-2（即x=4），取得最大值，g（-2）=12．
t=-1（即x=2），取得最小值，g（-1）=7．
所以函数f（x）的值域[7，12]．

点评 本题考查了对数函数与二次函数的单调性、值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．