Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD，PA⊥面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AB=2AD=2PA=4BE=4
（1）求证：DE⊥面PAC
（2）取PD中点Q，求三棱锥P-QBE体积．

Answer 1

分析 （1）推导出DE⊥AC，PA⊥DE，由此能证明DE⊥面PAC
（2）取PD中点Q，三棱锥P-QBE体积${V}_{P-QBE}=\frac{1}{2}{V}_{P-DBE}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD，PA⊥面ABCD，AD∥BC，
AB⊥AD，BC=2AB=2AD=2PA=4BE=4，
∴在梯形ABCD中，tan∠ADE=2=tan∠BAC，
∴∠ADE=90°-∠DAC，
∴DE⊥AC，
又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DE，
∵PA∩AC=A，∴DE⊥面PAC
解：（2）取PD中点Q，
∴三棱锥P-QBE体积：
${V}_{P-QBE}=\frac{1}{2}{V}_{P-DBE}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×{S}_{△DBE}×PA$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．