Question

19．已知O是锐角△ABC的外接圆的圆心，且∠A=$\frac{π}{4}$，若$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$=2m$\overrightarrow{AO}$，则m=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 取AB的中点为D，可得$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$ 代入已知的等式中，结合正弦定理和向量的运算法则变形，并用三角函数表示出m，化简后可得结果．

解答 解：取AB中点D，则有$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$，
代入已知式子可得$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$=2m（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$），
由$\overrightarrow{DO}$⊥$\overrightarrow{AB}$，可得$\overrightarrow{DO}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
∴两边同乘$\overrightarrow{AB}$，
化简得：$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=2m（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$）•$\overrightarrow{AB}$=2m$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=m$\overrightarrow{AB}$²，
即$\frac{cosB}{sinC}$c²+$\frac{cosC}{sinB}$bc•cosA=mc²，
由正弦定理化简可得$\frac{cosB}{sinC}$sin²C+$\frac{cosC}{sinB}$sinBsinC•cosA=sin²C，
由sinC≠0，两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC，
∴m=$\frac{cosB+cosAcosC}{sinC}$=$\frac{-cos（A+C）+cosAcosC}{sinC}$=sinA=sin $\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故选：B．

点评 本题考查平面向量，正弦定理以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属中档题．