Question

16．已知点P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的一点，且以点P及焦点F₁，F₂为顶点的三角形面积等于1，求点P的坐标．

Answer 1

分析 由椭圆方程可知：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，c=$\sqrt{5-4}$=1，由三角的面积公式可知：S=$\frac{1}{2}$•2c•丨y丨=1，即丨y丨=1，代入椭圆方程得：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{1}{4}$=1，即可求得丨x丨=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，即可求得点P的坐标．

解答 解：F₁、F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左、右焦点，c=$\sqrt{5-4}$=1，
则F₁（-1，0），F₂（1，0），
设P（x，y）是椭圆上的一点，
由三角的面积公式可知：S=$\frac{1}{2}$•2c•丨y丨=1，即丨y丨=1，
将丨y丨=1代入椭圆方程得：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{1}{4}$=1，
解得：丨x丨=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴点P的坐标为（$\frac{\sqrt{15}}{2}$，1））（-$\frac{\sqrt{15}}{2}$，1）（$-\frac{{\sqrt{15}}}{2}，-1$）（$\frac{\sqrt{15}}{2}$，-1）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及性质，考查三角形的面积公式，考查求得椭圆上点坐标的方法，考查计算能力，属于基础题．