Question

设函数f（x）=|x²-4x-5|．
（1）在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象；
（2）设集合A={x|f（x）≥5}，B=（-∞，-2]∪[0，4]∪[6，+∞）．试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；
（3）当k＞2时，求证：在区间[-1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．

Answer 1

考点：函数图象的作法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）=|x²-4x-5|的图象如图．
（2）方程f（x）=5的解分别是2-

14

，0，4和2+

14

，由于f（x）在（-∞，-1]和[2，5]上单调递减，在[-1，2]和[5，+∞）上单调递增，结合函数的单调性求得A，从而得到A B的关系．
（3）当x∈[-1，5]时，令g（x）=k（x+3）-（-x²+4x+5）进行整理配得=(x-

4-k

2

)2-

k2-20k+36

4

，根据k＞2，讨论对称轴与1的关系，分别求得g（x）_min ＞0，从而得出结论．

解答： 解：（1）如图f（x）在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象如下：
      …（4分）
（2）方程f（x）=5的解分别是2-

14

，0，4和2+

14

，由于f（x）在（-∞，-1]和[2，5]上单调递减，在[-1，2]和[5，+∞）上单调递增，因此A=( -∞，  2-

14

 ]  ∪[ 0，  4 ]∪[ 2+

14

，  +∞ )．…（6分）
由于2+

14

＜6，2-

14

＞-2，∴B?A．…（8分）
（3）当x∈[-1，5]时，f（x）=-x²+4x+5．g（x）=k（x+3）-（-x²+4x+5）=x²+（k-4）x+（3k-5）=(x-

4-k

2

)2-

k2-20k+36

4

，
∵k＞2，∴

4-k

2

＜1．又-1≤x≤5，…（10分）
①当-1≤

4-k

2

＜1，即2＜k≤6时，取x=

4-k

2

，g（x）_min=-

k2-20k+36

4

=-

1

4

[(k-10)2-64]．
∵16≤（k-10）²＜64，∴（k-10）²-64＜0，
则g（x）_min＞0．…（12分）
②当

4-k

2

＜-1，即k＞6时，取x=-1，g（x）_min=2k＞0．
由 ①、②可知，当k＞2时，g（x）＞0，x∈[-1，5]．
因此，在区间[-1，5]上，y=k（x+3）的图象位于函数f（x）图象的上方．…（14分）

点评：本题主要考查作函数的图象，集合间的关系，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．