Question

已知函数f（x）=x-

2

x

，g（x）=a（2-lnx）（a＞0），若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处的斜线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一直线．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求出函数的导数，根据切线斜率的关系即可得到结论．

解答： 解：函数的导数为f′（x）=1+

2

x2

，g′（x）=-

a

x

，
∵曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处的斜线斜率相同，
∴f′（1）=g′（1），
即1+2=-a，解得a=-3，
此时f′（1）=g′（1）=3，
f（1）=1-2=-1，即切点为（1，-1），则对应的切线方程为y+1=3（x-1），即y=3x-4．
g（x）=-3（2-lnx），g（1）=-6，切点为（1，-6），则对应的切线方程为y+6=3（x-1），即y=3x-9．
则两条切线不是同一直线．

点评：本题主要考查函数切线的求解，要求熟练掌握导数的几何意义．