Question

已知函数f（x）=

lnx，x≥1 x2+2x+a，x＜1

（a为常数）的图象在点A（1，0）处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：利用导数的几何意义求出切线方程，利用分段函数与切线有三个不同的交点，得到当x＜1时，切线和二次函数有两个不同的交点，利用数形结合，即可求得a的取值范围．

解答： 解：当x≥1，函数f（x）的导数，f'（x）=

1

x

，则f'（1）=1，
则在A（1，0）处的切线方程为y-0=（x-1），即y=x-1．
当x≥1时，切线和函数f（x）=lnx有2个交点，
∴要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点，
则当x＜1时，函数f（x）=x²+2x+a=x-1，有2个交点，
即x²+x=-a-1在x＜1时，有2个不同的根，
设g（x）=x²+x，
则g（x）=（x+

1

2

）²-

1

4

，
∵x＜1，
∴当x=-

1

2

时，g（x）=-

1

4

，
当x=1时，g（x）=2，
要使x²+x=-a-1在x＜1时，有2个不同的根，
则满足-

1

4

＜-a-1＜2，
即-3＜a＜-

3

4

，
∴实数a的取值范围是（-3，-

3

4

），
故答案为：（-3，-

3

4

）

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点问题，利用二次函数的性质是解决本题的关键．考查学生分析问题的能力，综合性较强．