Question

已知F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点F₂关于直线y=

b

a

x的对称点M也在双曲线上，则该双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出过焦点F且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入方程结合a²+b²=c²，解出e即得．

解答： 解：过焦点F且垂直渐近线的直线方程为：y-0=-

a

b

（x-c），
联立渐近线方程y=

b

a

x与y-0=-

a

b

（x-c），
解之可得x=

a2

c

，y=

ab

c

故对称中心的点坐标为（

a2

c

，

ab

c

），由中点坐标公式可得对称点的坐标为（

2a2

c

-c，

2ab

c

），
将其代入双曲线的方程可得

(2a2-c2)2

a2c2

-

4a2b2

b2c2

=1，结合a²+b²=c²，
化简可得c²=5a²，故可得e=

c

a

=

5

．
故答案为：

5

．

点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解和对称问题，属中档题．