Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

1-an

2

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用a_n与S_n的关系，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法即可求数列{na_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵S_n=

1-an

2

，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1-an

2

-

1-an-1

2

，
整理得3a_n=a_n-1，即

an

an-1

=

1

3

，
当n=1时，a₁=

1-a1

2

，解得a₁=

1

3

，
即数列{a_n}是以a₁=

1

3

，公比q=

1

3

的等比数列，即a_n=

1

3

•(

1

3

)n-1=(

1

3

)n．
（2）∵na_n=n（

1

3

）ⁿ，
∴{na_n}的前n项和T_n=1•

1

3

+2•(

1

3

)2+…n（

1

3

）ⁿ，①

1

3

T_n=（

1

3

）²+2•（

1

3

）³+…+（n-1）（

1

3

）ⁿ+n（

1

3

）ⁿ⁺¹，②
两式相减得

2

3

T_n=

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+…+（

1

3

）ⁿ-n（

1

3

）ⁿ⁺¹=

1 3 (1-( 1 3 )n)

1- 1 3

-n（

1

3

）ⁿ⁺¹=

3

2

-

3

2

•（

1

3

）ⁿ-n（

1

3

）ⁿ⁺¹，
即T_n=

9

4

-

9

4

•（

1

3

）ⁿ-

9n

4

•（

1

3

）ⁿ⁺¹．

点评：本题主要考查数列通项公式的计算，以及利用错位相减法求数列的和，考查学生的计算能力．