Question

椭圆C的右焦点为F，右准线为l，离心率为

3

2

，点A在椭圆上，以F为圆心，FA为半径的圆与l的两个公共点是B，D．
（1）若△FBD是边长为2的等边三角形，求圆的方程；
（2）若A，F，B三点在同一条直线m上，且原点到直线m的距离为2，求椭圆方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由等边三角形求出圆半径，再由点到直线的距离公式能求出圆心坐标，由此能求出圆的方程．
（2）由三点共线和圆心求出B点横坐标，由点到直线的距离公式能求出a，b，c的值，由此能求出椭圆方程．

解答： 解：（1）∵△FBD是边长为2的等边三角形，
∴圆半径为2，且F到直线的距离是

3

，
又F到直线l的距离是FM=

a2

c

-c=

b2

c

=

b

3

，
∴

b

3

=

3

，b=3，∴c=3

3

，
∴圆的方程是(x-3

3

)2+y2=4．…（6分）
（2）∵A，F，B三点共线，且F是圆心，
∴F是线段AB中点，由B点横坐标是

4b

3

，
得x0=2c-

a2

c

=2

3

b-

4

3

3

b=

2

3

3

b，…（8分）
再由

x02

4b2

+

y02

b2

=1，得y02=b2-

x02

4

=

2

3

b2，y0=

6

3

b，
∴直线m斜率k=

y0

x0-c

=

6 3 b

- 3 b 3

=-

2

，…（12分）
直线m：y=-

2

(x-c)，

2

x+y-

2

c=0…（14分）
原点O到直线m的距离d=

2 c

3

，
依题意

2 c

3

=2，c=

6

，∴b=

2

，
∴椭圆的方程是

x2

8

+

y2

2

=1．…（16分）

点评：本题考查圆的方程的求法，考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．