Question

如图，一个底面半径为

3

的圆柱被与其底面所成角为30°的平面所截，其截面是一个椭圆C．
（Ⅰ）求该椭圆C的长轴长；
（Ⅱ）以该椭圆C的中心为原点，长轴所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求椭圆C的任意两条互相垂直的切线的交点P的轨迹方程；
（Ⅲ）设（Ⅱ）中的两切点分别为A，B，求点P到直线AB的距离的最大值和最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：

分析：（Ⅰ）根据圆柱的直径算出椭圆的短轴长，再由二面角的平面角等于30°，利用三角函数定义可算出椭圆的长轴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．当两切线l₁，l₂的斜率有一条不存在（另一条斜率必为0）时，点P（±2，±

3

）（四个）；当两切线l₁，l₂的斜率均存在且不为0时，设l₁：y=kx+m，l2：y=-

1

k

x+n，设P（x₀，y₀），则m=y₀-kx₀，n=y0+

1

k

x0，由此能求出动点P的轨迹方程．
（Ⅲ）设动点P（x₀，y₀），则x02+y02=7，设两切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设过A（x₁，y₁）的切线y-y₁=k₁（x-x₁），代入椭圆方程得：（3+4k12）x²+8k₁（y₁-k1 x1）x+4（y₁-k₁x₁） 2 -12=0，由此能求出直线AB的方程为

x0x

4

+

y0y

3

=1，从而能求出点P到直线AB的距离的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）：∵圆柱的底面半径为

3

，∴椭圆的短半轴b=

3

，
又∵椭圆所在平面与圆柱底面所成角为30°
∴cos30°=

3

a

=

3

2

，解得a=2，
∴该椭圆C的长轴长2a=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
①当两切线l₁，l₂的斜率有一条不存在（另一条斜率必为0）时，点P（±2，±

3

）（四个）；
②当两切线l₁，l₂的斜率均存在且不为0时，
设l₁：y=kx+m，l2：y=-

1

k

x+n，设P（x₀，y₀），
则m=y₀-kx₀，n=y0+

1

k

x0，
联立

y=kx+m 3x2+4y2=12

，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵l₁：y=kx+m与椭圆相切，∴△=0，∴m²=4k²+3，同理n2=

4

k2

+3，
∴

(y0-kx0)2=4k2+3 (y0+ 1 k x02)2= 4 k2 +3

，即

y02-2kx0y0+k2x02=4k2+3 y02+ 2 k x0y0+ 1 k2 x02= 4 k2 +3

，
整理，得

y02-2kx0y0+k2x02=4k2+3 k2y02+2kx0y0+x02=4+3k2

，
两式相加得(k2+1)y02+(k2+1)x02=7(k2+1)，即x02+y02=7，
点P（±2，±

3

）也在此曲线上，
综上，动点P的轨迹方程为x²+y²=7．
（Ⅲ）设动点P（x₀，y₀），则x02+y02=7，
下面先证明直线AB的方程为

x0x

4

+

y0y

3

=1，
设两切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设过A（x₁，y₁）的切线：y-y₁=k₁（x-x₁），
代入椭圆方程得：
（3+4k12）x²+8k₁（y₁-k1 x1）x+4（y₁-k₁x₁） 2 -12=0，
由△=0得，(y1-k1x1)2-3-4k12=0，
又

x12

4

+

y12

3

=1，y12=3-

3

4

x12，x12=4-

4

3

y12，
代入得：（k1y1+

3

4

x1）²=0，∴k1=-

3x1

4y1

，
∴过A（x₁，y₁）的切线l1：

x1x

4

+

y1y

3

=1，
当过A（x₁，y₁）的切线斜率不存在时仍然符合上式，
同理过B（x₂，y₂）的切线l2：

x2x

4

+

y2y

3

=1，
∵l₁，l₂均过P（x₀，y₀），∴

x1x0

4

+

y1y0

3

=1，

x2x0

4

+

y2y0

3

=1，
由此可得直线AB的方程为

x0x

4

+

y0y

3

=1．
∴P点到直线AB的距离d=

| x02 4 + y02 3 -1|

x02 16 + y02 9

=

| x02 4 + 7-x02 3 -1|

x02 16 + 7-x02 9

=

16-x02

7

，
∴x02 ∈[0，7]，∴点P到直线AB的距离的最大值和最小值分别为

4 7

7

，

3 7

7

．

点评：本题考查椭圆长轴长的求法，考查交点的轨迹方程的求法，考查点到直线的距离的最值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．