Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设数列b_n=a_n-n+1，且{

1

bnbn+1

}的前n项和为T_n，求证：

1

4

≤T_n＜

1

3

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：综合题,综合法,等差数列与等比数列

分析：（1）根据公式a_n=S_n-S_n-1，（n≥2），化简得：当n≥2时，a_n-a_n-1=4，判断出等差数列，运用等差数列的通项公式求解．
（2）运用裂项方法求出C_n=

1

bnbn+1

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），得出T_n=

1

3

（1-

1

3n+1

）根据关于n的单调递增函数，求解出范围即可证明．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
∴当n≥2时，S_n=na_n-2n（n-1）①，S_n-1=（n-1）a_n-1-2（n-1）（n-2）②．
∴①-②得：S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4n+4，
即当n≥2时，a_n-a_n-1=4，
∴数列{a_n}为等差数列，a₁=1，d=4
即a_n=4n-3，
故数列{a_n}的通项公式a_n=4n-3
（2）∵数列b_n=a_n-n+1，
∴b_n=4n-3-n+1=3n-2，b_n+1=3n+1
∵设C_n=

1

bnbn+1

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），
∴数列{

1

bnbn+1

}的前n项和为T_n=

1

3

（1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

3n-2

-

1

3n+1

）=

1

3

（1-

1

3n+1

）
∵T_n=

1

3

（1-

1

3n+1

）是关于n的单调递增函数
T_n＜

1

3

当n=1时，T₁=

1

3

（1-

1

4

）=

1

4

，
∴

1

4

≤T_n＜

1

3

点评：本题综合考查了数列的概念，性质，函数的单调性的运用，裂项求数列的和等思想方法．