Question

函数f（x）在R上的导函数是f′（x），若f（x）=f（4-x），且当x∈（-∞，2）时，（x-2）•f′（x）＜0．角A、B、C是锐角△ABC的三个内角，下面给出四个结论：
（1）f(sin

7π

3

)＞f(cos

7π

4

)；     
（2）f（2log₂3）＜f（log_0.50.1）；
（3）f（sinA+sinB）＞f（cosA+cosB）；
（4）f（sinB-cosB）＞f（cosA-sinC）；
则上面这四个结论中一定正确的有（　　）个．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,三角函数的求值

分析：本题可以先对函数进行分析，得出函数的对称性和单调性情况，再比较三角函数值的大小，从而得到函数的大小比较，选出正确命题，得到本题结论．

解答： 解：∵f（x）=f（4-x），
f（2+x）=f（2-x）．
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称．
∵当x∈（-∞，2）时，（x-2）•f′（x）＜0，
∴x-2＜0，f′（x）＞0，
∴函数y=f（x）在（-∞，2）上单调递增，
∴函数y=f（x）在（2，+∞）上单调递减．
（1）∵sin

7π

3

=sin

π

3

=

3

2

＜2，
cos

7π

4

=cos

π

4

=

2

2

＜2，
且

2

2

＜

3

2

，
∴f(sin

7π

3

)＞f(cos

7π

4

)，
故命题①成立；
（2）∵2log₂3=log232=log29＞2，
log_0.50.1=log₂10＞2，
且log₂9＜log₂10，
∴f（2log₂3）＞f（log_0.50.1），
命题②不成立；
（3）∵角A、B、C是锐角△ABC的三个内角，
∴A+B＞

π

2

，
∴A＞

π

2

-B，
∴sinA＞sin(

π

2

-B)，
∴sinA＞cosB，
同理sinB＞cosA．
∴sinA+sinB＞cosA+cosB，
∵sinA+sinB＜2，cosA+cosB＜2，
∴f（sinA+sinB）＞f（cosA+cosB），
故命题③成立；
（4）由（3）知：sinA＞cosB，
同理sinC＞cosA．
∴sinA+sinC＞cosA+cosB，
即sinA-cosB＞cosA-sinC，
∵sinA-cosB＜2，cosA-sinC＜2，
∴f（sinB-cosB）＞f（cosA-sinC），
命题④成立．
综上，正确的命题有3个．
故选C．

点评：本题考查了函数的对称性、单调性和三角函数值的计算，本题难度适中，属于中档题．