设等比数列{an}的首项为a1=2.2n2-(t+bn)n+32bn=0(t∈R.n∈N*)．公比为q.且满足3a3是8a1与a5的等差中项,数列{bn}满足(1)求数列{an}的通项公式,(2)试确定t的值.使得数列{bn}为等差数列,(3)当{bn}为等差数列时.对每个正整数k.在ak与ak+1之间插入bk个2.得到一个新数列{cn}．设Tn是数列{cn}的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

设等比数列{a_n}的首项为a₁=2，2n²-（t+b_n）n+

bn=0(t∈R，n∈N*)．公比为q（q为正整数），且满足3a₃是8a₁与a₅的等差中项；数列{b_n}满足
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试确定t的值，使得数列{b_n}为等差数列；
（3）当{b_n}为等差数列时，对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入b_k个2，得到一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n}的前n项和，试求满足T_m=2c_m+1的所有正整数m．

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知可求出q的值，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由已知可求b_n=

2n2-tn

，从而可依次写出b₁，b₂，b₃若数列{b_n}为等差数列，则有b₁+b₃=2b₂，从而可确定t的值；
（3）因为c₁=c₂=c₃=2，c₄=4，c₅=c₆=2，检验知m=1，3，4不合题意，m=2适合题意．当m≥5时，若后添入的数2=c_m+1则一定不适合题意，从而c_m+1必定是数列{a_n}中的某一项，设c_m+1=a_k+1则2^k-k²-k+1=0．由函数的单调性知2^k-k²-k+1＞0对k∈[5，+∞）恒成立，即有m≥5都不合题意．故满足题意的正整数只有m=2．

解答： 解：（1）因为6a₃=8a₁+a₅，所以6q²=8+q⁴，
解得q²=4或q²=2（舍去），则q=2．
又a₁=2，所以a_n=2ⁿ
（2）由 2n²-（t+b_n）n+

b_n=0，得b_n=

2n2-tn

，
所以b₁=2t-4，b₂=16-4t，b₃=12-2t，则由b₁+b₃=2b₂，得t=3．
而t=3时，b_n=2n，由b_n+1-b_n=2（常数）知此时数列{b_n}为等差数列．
（3）因为c₁=c₂=c₃=2，c₄=4，c₅=c₆=2，检验知m=1，3，4不合题意，m=2适合题意．
当m≥5时，若后添入的数2=c_m+1则一定不适合题意，从而c_m+1必定是数列{a_n}中的某一项，设c_m+1=a_k+1则
（2+2²+2³+…+2^k）+2×（b₁+b₂+b₃+…+b_k）=2×2^k+1
所以

2(1-2k)

1-2

(2+2k)k

×2=2×2k+1即有2^k-k²-k+1=0．
记f（k）=2^k-k²-k+1，则f′（k）=（ln2）•2^k-2k-1．
∵1+2+2²+…+2^k-1=2^k-1
∴2^k=（1+2+2²+…+2^k-1）+1＞[1+2+2²+2³+2⁴+2²（k-5）]+1=4k+12
又因为2ln2=ln4＞1
∴f′（k）＞2ln2（2k+6）-（2k+1）＞（2k+6）-（2k+1）＞5＞0．
从而f（k）在[5，+∞）上是增函数．
由f（5）=32-25-5+1=3＞0知f（k）＞0对k∈[5，+∞）恒成立．
∴f（k）=0在[5，+∞）无解，即有m≥5都不合题意．
综上可知，满足题意的正整数只有m=2．

点评：本题主要考察了等差数列与等比数列的综合应用，考察了函数单调性的证明，属于中档题．