Question

下列说法正确的有

 

．
①函数y=log

1

2

(x2-2x-3)的单调增区间是（-∞，1）；
②若集合A={y|y=x-1}，B={y|y=x²-1}，则A∩B={（0，-1），（1，0）}；
③若函数f（x）在（-∞，0），[0，+∞）都是单调增函数，则f（x）在（-∞，+∞）上也是增函数；
④函数y=

1-x2

|x+1|+|x-2|

是偶函数．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：求出原函数的单调增区间判断①；分别求解两个函数的值域取交集判断②；
由分段函数的单调性判断③；求出原函数的定义域，化简后直接由偶函数的定义判断④．

解答： 解：①由x²-2x-3＞0，得x＜-1或x＞3，
内函数t=x²-2x-3在（-∞，-1）上为减函数，
∴函数y=log

1

2

(x2-2x-3)的单调增区间是（-∞，-1）．命题①错误；
②由A={y|y=x-1}=R，B={y|y=x²-1}={y|y≥-1}，
∴A∩B={y|y≥-1}．命题②错误；
③若函数f（x）在（-∞，0），[0，+∞）都是单调增函数，f（x）在（-∞，+∞）上不一定是增函数．
命题③错误；
④由

1-x2≥0 |x+1|+|x-2|≠0

，得-1≤x≤1．
∴函数y=

1-x2

|x+1|+|x-2|

=

1-x2

x+1-x+2

=

1-x2

3

由f(-x)=

1-(-x)2

3

=

1-x2

3

=f(x)．
∴函数y=

1-x2

|x+1|+|x-2|

是偶函数．命题④正确．
∴正确的命题是④．
故答案为：④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了基本初等函数的性质，解答此题的关键是对分段函数单调性的理解，是中档题．