Question

对函数f（x），若任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为一三角形的三边长，则称f（x）为“三角型函数”，已知函数f（x）=

2x+m

2x+2

（m＞0）是“三角型函数”，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：先将函数化为f（x）=1+

m-2

2x+2

的形式，然后结合单调性，结合构成三角形的条件构造不等式即可．

解答： 解：原函数可化为f（x）=1+

m-2

2x+2

．
当m=2时，f（x）=1，显然符合题意；
当m≠2时，f（x）=1+

m-2

2x+2

在R上是单调函数，此时若该函数为“三角形函数”，只需2f（x）_min＞f（x）_max即可．
当m＞2时，易知f（x）在定义域内单调递减，此时当x→+∞时，

m-2

2x+2

→0，故f（x）→1；又x→-∞时，2^x→0，故2^x+2→2，所以f（x）→1+

m-2

2

．
此时只需2≥1+

m-2

2

．解得2＜m≤4；
当m＜2时，易知f（x）在定义域内单调递增，此时当x→+∞时，

m-2

2x+2

→0，故f（x）→1；又x→-∞时，2^x→0，故2^x+2→2，所以f（x）→1+

m-2

2

．
此时需1≤2+2×

m-2

2

．解得1≤m＜2；
综上，m的范围是[1，4]．

点评：本题实质上是一个不等式恒成立问题，因此最终转化为函数的最值问题求解．