Question

已知f（x）=lnx，g（x）=af（x）+f′（x），
（1）求g（x）的单调区间；
（2）当a=1时，
    ①比较g(x)与g(

1

x

)的大小；
    ②是否存在x₀＞0，使得|g（x）-g（x₀）|＜

1

x

对任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导计算g（x）的单调区间，注意对参数a的讨论，分a＞0和a≤0两种情况；
（2）①作差g（x）-g(

1

x

)，对差函数进行求导研究；
②将不等式化为-

1

x

＜g(x0)-g(x)＜

1

x

，从lnx的取值入手研究．

解答： 解：（1）∵f′(x)=

1

x

，g(x)=alnx+

1

x

，
g（x）的定义域为（0，+∞）．
g′(x)=

a

x

-

1

x2

=

ax-1

x2

①当a≤0时，g'（x）＜0，（0，+∞）是g（x）的单调区间；
②当a＞0时，由g'（x）＞0，得x＞

1

a

；由g'（x）＜0，得0＜x＜

1

a

，
即增区间是(

1

a

，+∞)，减区间是(0，

1

a

)．
（2）g(x)=lnx+

1

x

，g(

1

x

)=ln

1

x

+x=-lnx+x
∴g(x)-g(

1

x

)=2lnx+

1

x

-x=μ(x)
μ′(x)=

2

x

-

1

x2

-1=

-x2+2x-1

x2

=

-(x-1)2

x2

①当x=1时，μ（x）=0，此时g(x)=g(

1

x

)
②当0＜x＜1时，μ'（x）＜0，∴μ（x）＞μ（1）=0．∴g(x)＞g(

1

x

)
③当x＞1时，μ'（x）＜0，∴μ（x）＜μ（1）=0．∴g(x)＜g(

1

x

)．
（3）|g(x)-g(x0)|＜

1

x

?-

1

x

＜g(x0)-g(x)＜

1

x

?lnx＜g(x0)＜lnx+

2

x

∵lnx∈（-∞，+∞），∴g（x₀）＞lnx不能恒成立．
故x₀不存在．

点评：本题是对导数常用知识的考查，包括求单调区间，用导数研究函数的性质等等，也是高考中经常出现的题型，值得注意的是：在求含参数的单调区间时，一定要结合着函数的定义域，分类讨论是经常考察到的思想．