Question

如图：已知直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1）．
（1）求p的值；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用OD⊥AB，可求直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合OA⊥OB，利用向量的数量积公式，即可求出p的值；
（2）利用弦长公式求出|AB|，求出|OD|，即可求△AOB的面积．

解答： 解（1）∵OD⊥AB，∴k_OD•k_AB=-1．
又kOD=

1

2

，∴k_AB=-2，
∴直线AB的方程为y=-2x+5．…．…（1分）
设A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），则
由OA⊥OB⇒

OA

•

OB

=0⇒x1x2+y1y2=0…．…（2分）
又x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-2x₁+5）（-2x₂+5）=5x₁x₂-10（x₁+x₂）+25
联立方程

y2=2px y=-2x+5

消y可得4x²-（20+2p）x+25=0①
∴x1+x2=

10+p

2

，x1x2=

25

4

…．（3分）
∴x1x2+y1y2=5×

25

4

-10×

10+p

2

+25=

5

4

-p，
∴p=

5

4

当p=

5

4

时，方程①成为8x²-45x+50=0显然此方程有解．
∴p=

5

4

…．…（5分）
（2）由|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5×[( 15 8 )2-25]

=

5 85

8

．…（7分）
∵|OD|=

5

．…（8分）
∴S△AOB=

1

2

|AB|•|OD|=

1

2

×

5

×

5 85

8

=

25 17

16

…．…（10分）

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形的面积计算，正确运用韦达定理是关键．