Question

长为3的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，如果点M是线段AB上一点，且

MB

=2

AM

．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C与x轴的正半轴交于点N，且与直线l：y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点P、Q（不同于点N），若NP⊥NQ，试判断直线l是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用代入法，根据

MB

=2

AM

，|AB|=3，可求点M的轨迹C的方程；
（2）直线y=kx+m代入椭圆方程，利用韦达定理，结合以AB为直径的圆过点D（2，0），即可求得结论．

解答： 解：（1）设M（x，y），A（x₁，0），B（0，y₂），则
∵

MB

=2

AM

，
∴（-x，y₂-y）=2（x-x₁，y），
∴x₁=

3

2

x，y₂=3y，
∴|AB|=3，
∴x₁²+y₂²=9，
∴曲线C的方程为

x2

4

+y2=1；   
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则N（2，0）
直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y可得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0
∴x₁+x₂=-

8mk

3+4k2

，x₁x₂=

4(m2-3)

3+4k2

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

3(m2-4k2)

3+4k2

，
∵NP⊥NQ，
∴k_NPk_NQ=-1
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0
∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

-2•（-

8mk

3+4k2

）+4=0
∴7m²+16mk+4k²=0
∴m=-2k或m=-

2k

7

，均满足△=3+4k²-m²＞0
当m=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过点（2，0），与已知矛盾；
当m=-

2k

7

时，l的方程为y=k（x-

2

7

），直线过点（

2

7

，0），
∴直线l过定点，定点坐标为（

2

7

，0）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．