Question

设A、B分别是直线y=±

2

2

x上的动点，且|AB|=

2

，O为坐标原点，若动点P满足

OP

=

OA

+

OB

；动点Q在动圆C₁：x²+y²=t²（1＜t＜4）上．
（1）求动点P的轨迹C₂的方程；
（2）若直线PQ与C₁和C₂均只有一个交点，求线段PQ长度的最大值并求出此时圆C₁的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）令A（t，

2

2

t），B（s，-

2

2

s） p=（x，y），由已知件推导出

x=t+s y= 2 2 (t-s)

，由此能求出动点P的轨迹C₂的方程．
（2）若直线PQ的斜率不存在．则|PQ|=0；若直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m，P（x₁，y₂），Q（x₂，y₂），
联立

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0，由此利用韦达定理和根的判别式能求出|PQ|的最大值和此时圆C₁的方程．

解答： 解：（1）令A（t，

2

2

t），B（s，-

2

2

s）
则p（t+s，

2

2

(t-s)）=（x，y），
∴

x=t+s y= 2 2 (t-s)

，
而|AB|²=（t-s）²+

1

2

（t+s）²=2，
∴（

2

y）²+

1

2

x2=2，
整理，得动点P的轨迹C₂的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）若直线PQ的斜率不存在．则|PQ|=0．
若直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m，P（x₁，y₂），Q（x₂，y₂），
联立

y=kx+m x2 4 +y2=1

，消去y，并整理，得：
（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
∵直线PQ与C₁和C₂均只有一个交点，
∴△=（8km）²-16（4k²+1）（m²-1）=0，
从而m²=4k²+1，x1=-

4k

m

，①
又PQ与圆C₁相切，得

|m|

k2+1

=t，
∴m²=t²（k²+1），②
由①②得：k2=

t2-1

4-t2

，
PQ²=OP²-t²=x12+y12-t2
=x12+1-

x12

4

-t2
=1+

3

4

x12-t²
=1+

12k2

4k2+1

-t²
=5-（t²+

4

t2

）
≤5-4=1．
当且仅当t²=2，即t=

2

∈（1，4）时取得等号，
∴|PQ|的最大值为1．
此时圆C₁的方程x²+y²=1．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查线段长的最大值的求法，考查圆的方程的求法，解题时要注意均值定理的合理运用．