Question

已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1，x∈R，若函数h（x）=f（x+α）的图象关于点（-

π

3

，0）对称，且α∈（0，π），则α=

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x-

π

3

），可得函数h（x）=2sin（2x+2α-

π

3

），再由 h（-

π

6

）=0 可得2t-

2π

3

=0或π，由此解得t的值．

解答： 解：∵函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1
=2•

1-cos( π 2 +2x)

2

-

3

cos2x-1
=1+sin2x-

3

cos2x-1
=2（

1

2

sin2x-

3

2

sin2x）
=2sin（2x-

π

3

），
∴函数h（x）=f（x+α）=2sin（2x+2α-

π

3

），且它的图象关于点（-

π

3

，0）对称，
∴h（-

π

3

）=0，即 2sin（2α-π）=0，
∵α∈（0，π），
∴2α-π=0 解得α=

π

2

．
故答案为：

π

2

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，正弦函数的对称性，属于中档题．