题目内容
给定数集A．若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a-b∈A，则称集合A为闭集合．给出如下四个结论：
①集合A={-4，-2，0，2，4}为闭集合；
②集合A={n|n=3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合；
④若集合A1，A2为闭集合，且A1?R，A2?R，则存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）．
其中，全部正确结论的序号是 ．
①集合A={-4，-2，0，2，4}为闭集合；
②集合A={n|n=3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合；
④若集合A1，A2为闭集合，且A1?R，A2?R，则存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）．
其中，全部正确结论的序号是
考点：元素与集合关系的判断
专题：新定义,集合
分析：根据新定义的概念得出：①举反例说明命题错误；
②可以通过理论证明命题正确；
③举反例说明命题错误；
④举例说明命题正确．
②可以通过理论证明命题正确；
③举反例说明命题错误；
④举例说明命题正确．
解答：
解：①当a=2、b=4时，a+b=6∉A，∴集合A不是闭集合，命题错误；
②任取a、b∈A，则a=3k1，b=3k2，k1、k2∈Z；
∴k1+k2∈Z，∴a+b=3（k1+k2）∈A，
同理，a-b∈A，
∴A是闭集合，命题正确；
③A1={n|n=3k，k∈Z}是闭集合，A2={n|n=5k，k∈Z}是闭集合，且3∈A1，5∈A2，
但3+5∉A1∪A2，∴A1∪A2不是闭集合，∴命题错误；
④集合A1={n|n=3k，k∈Z}是闭集合，A2={n|n=5k，k∈Z}是闭集合，且A1?R，A2?R，
∵3∈A1，5∈A2，但3+5∉A1∪A2，∴命题正确．
∴正确命题的序号是②④．
故答案为：②④．
②任取a、b∈A，则a=3k1，b=3k2，k1、k2∈Z；
∴k1+k2∈Z，∴a+b=3（k1+k2）∈A，
同理，a-b∈A，
∴A是闭集合，命题正确；
③A1={n|n=3k，k∈Z}是闭集合，A2={n|n=5k，k∈Z}是闭集合，且3∈A1，5∈A2，
但3+5∉A1∪A2，∴A1∪A2不是闭集合，∴命题错误；
④集合A1={n|n=3k，k∈Z}是闭集合，A2={n|n=5k，k∈Z}是闭集合，且A1?R，A2?R，
∵3∈A1，5∈A2，但3+5∉A1∪A2，∴命题正确．
∴正确命题的序号是②④．
故答案为：②④．
点评：本题考查了新定义的集合与元素的判定问题，解题时应深刻理解新定义的概念，适当的应用反例说明命题是否成立，是综合题．
练习册系列答案
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