Question

已知函数f（x）满足：f（1）=

1

4

，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），则f（2015）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：运用赋值法，令y=1，根据条件得到f（x）=f（x+1）+f（x-1），将x换为x+1，再把x换为x+1，得到f（x+3）=-f（x），把x换为x+3，得到f（x+6）=f（x），从而f（x）的周期为6，f（2015）=f（5）；根据条件再令x=y=0，求出f（0），令x=y=1，求出f（2），令x=2，y=1，求出f（3），令x=y=2，求出f（4），令x=4，y=1求出f（5）即可．

解答： 解：令x=y=0，则4f²（0）=f（0）+f（0），
即f（0）=0或f（0）=

1

2

，
若f（0）=0，则令y=0，有4f（x）f（0）=2f（x），
即f（x）=0，这与f（1）＞0矛盾，
∴f（0）=

1

2

，
∵f（1）=

1

4

，
令x=y=1，则4f²（1）=f（2）+f（0），
∴f（2）=4×

1

16

-

1

2

=-

1

4

，
令x=2，y=1，则4f（2）f（1）=f（3）+f（1），
∴f（3）=4×（-

1

4

）×

1

4

-

1

4

=-

1

2

，
令x=y=2，则4f²（2）=f（4）+f（0），
∴f（4）=4×

1

16

-

1

2

=-

1

4

，
令x=4，y=1，则4f（4）f（1）=f（5）+f（3），
∴f（5）=4×(-

1

4

)×

1

4

-(-

1

2

)=

1

4

，
∵f（1）=

1

4

，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），
令y=1，则4f（x）f（1）=f（x+1）+f（x-1）即f（x）=f（x+1）+f（x-1），
∴f（x+1）=f（x+2）+f（x），即f（x+1）=f（x+2）+f（x+1）+f（x-1），
∴f（x+2）=-f（x-1），即f（x+3）=-f（x），
∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
∴函数f（x）是最小正周期为6的函数，
∴f（2015）=f（6×335+5）=f（5）=

1

4

，
故答案为：

1

4

．

点评：本题主要考查函数的周期性和运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，注意充分运用条件，恰当赋值和赋式的运用．