题目内容
设x轴、y轴正方向的单位向量分别为
，
，坐标平面上的点An满足条件：
=
+
，
=2n
-
（n∈N*）．
（1）若数列{an}的前n项和为sn，且sn=
•
，求数列{an}的通项公式．
（2）求向量
的坐标，若△OA1An+1（n∈N*）的面积S△OA1An+1构成数列{bn}，写出数列{bn}的通项公式．
（3）若cn=
-2，指出n为何值时，cn取得最大值，并说明理由．
| i |
| j |
| OA1 |
| i |
| j |
| AnAn+1 |
| i |
| j |
（1）若数列{an}的前n项和为sn，且sn=
| OA1 |
| AnAn+1 |
（2）求向量
| OAn+1 |
（3）若cn=
| bn |
| an |
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,等差数列与等比数列,平面向量及应用
分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示，结合向量垂直的条件，可得Sn，再由an与Sn的关系，即可求得数列{an}的通项公式；
（2）运用向量的多边形法则，以及等比数列的求和公式，得到An+1的坐标，再由三角形的面积公式即可得到面积，即为数列{bn}的通项公式；
（3）判断数列{cn}的单调性，运用作差法，即为cn-cn-1，即可判断最大值．
（2）运用向量的多边形法则，以及等比数列的求和公式，得到An+1的坐标，再由三角形的面积公式即可得到面积，即为数列{bn}的通项公式；
（3）判断数列{cn}的单调性，运用作差法，即为cn-cn-1，即可判断最大值．
解答：
解：（1）由题意sn=
•
=2n-1①，
当n=1时，a1=s1=2 -1=1，
当n≥2时，sn-1=2n-1-1②
由 ①-②得：an=2n-1-(2n-1-1)=2n-1，
又当n=1时，a1=1符合题意，所以an=2n-1（n∈N*）
（2）解：
=
+
+…+
=（1+2+22+…+2n）
+（1-1-1-…-1）
=（2n+1-1）
+（1-n）
，
所以，
=(2n+1-1 ， 1-n)，
由当n∈N*时，△OA1An+1的顶点坐标分别为：
O(0，0) 、A1(1 ， 1) 、An+1(2n+1-1 ， 1-n)得，S△OA1An+1=
=
(2n+1+n-2)=2n+
，
即bn=2n+
（n∈N*）
（3）cn=
-2=
-2=
，
当n≥2时，cn-cn-1=
-
=
，
∴1≤n≤3时，{cn}是递增数列，n≥5时，{cn}是递减数列，
c1＜c2＜c3=c4＞c5＞c6＞…＞cn＞…，
∴当n=3或n=4时，cn取得最大值，c3=c4=
．
| OA1 |
| AnAn+1 |
当n=1时，a1=s1=2 -1=1，
当n≥2时，sn-1=2n-1-1②
由 ①-②得：an=2n-1-(2n-1-1)=2n-1，
又当n=1时，a1=1符合题意，所以an=2n-1（n∈N*）
（2）解：
| OAn+1 |
| OA1 |
| A1A2 |
| AnAn+1 |
| i |
| j |
=（2n+1-1）
| i |
| j |
所以，
| OAn+1 |
由当n∈N*时，△OA1An+1的顶点坐标分别为：
O(0，0) 、A1(1 ， 1) 、An+1(2n+1-1 ， 1-n)得，S△OA1An+1=
| 1 |
| 2 |
|
| 1 |
| 2 |
| n-2 |
| 2 |
即bn=2n+
| n-2 |
| 2 |
（3）cn=
| bn |
| an |
2n+
| ||
| 2n-1 |
| n-2 |
| 2n |
当n≥2时，cn-cn-1=
| n-2 |
| 2n |
| n-3 |
| 2n-1 |
| 4-n |
| 2n |
∴1≤n≤3时，{cn}是递增数列，n≥5时，{cn}是递减数列，
c1＜c2＜c3=c4＞c5＞c6＞…＞cn＞…，
∴当n=3或n=4时，cn取得最大值，c3=c4=
| 1 |
| 8 |
点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查数列的通项和前n项和的关系，考查数列的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．
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| ||||
D、(-1，1-
|
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A、
| ||||
B、-
| ||||
C、
| ||||
D、-
|