题目内容
已知函数f（x）=
其中a∈R，若对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则k的最大值为（ ）
|
| A、-1 | B、-2 | C、-4 | D、-3 |
考点：分段函数的应用
专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用
分析：由题意求导f′（x）=x2-ax+（a-1）=（x-a+1）（x-1），从而确定函数的单调性，从而可得k=
=-（a-1+
）≤-2，从而解得．
| -a2+2a-2 |
| a-1 |
| 1 |
| a-1 |
解答：
解：由题意，当x＜0时，
f′（x）=x2-ax+（a-1）=（x-a+1）（x-1），
则由题意知函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，
故-a+1≤0，故a≥1；
而由-a2+2a-2=k（a-1）知，
当a=1时不成立，
故a＞1，
则k=
=-（a-1+
）≤-2
（当且仅当a-1=
，即a=2时，等号成立）；
故k的最大值为-2；
故选B．
f′（x）=x2-ax+（a-1）=（x-a+1）（x-1），
则由题意知函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，
故-a+1≤0，故a≥1；
而由-a2+2a-2=k（a-1）知，
当a=1时不成立，
故a＞1，
则k=
| -a2+2a-2 |
| a-1 |
| 1 |
| a-1 |
（当且仅当a-1=
| 1 |
| a-1 |
故k的最大值为-2；
故选B．
点评：本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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| D、y2=-6x |
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A、
| ||
B、
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C、
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D、
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