Question

给定两个长度为1的平面向量

OA

和

OB

，它们的夹角为60°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧

AB

上变动．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，则x+2y的最大值是（　　）

• A、2
• B、

  2 3

  3

• C、1
• D、

  3

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：先以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，并设∠BOA=θ，则可得出A，B，C三点坐标，从而求出

OA

，

OB

，

OC

的坐标．根据

OC

=x

OA

+y

OB

即可得到

cosθ=x+ 1 2 y sinθ= 3 2 y

，然后解出x，y，从而能得到x+2y=2sin（θ+

π

6

），根据

π

6

≤θ+

π

6

≤

π

2

，即可得出x+2y的最大值为2．

解答： 解：以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系：
根据已知条件可知A（1，0），B（

1

2

，

3

2

），若设∠COA=θ，θ（0≤θ≤60°），则C（cosθ，sinθ）；
∴

OA

=(1，0)，

OB

=(

1

2

，

3

2

)，

OC

=(cosθ，sinθ)；
所以（cosθ，sinθ）=（x+

1

2

y，

3

2

y）；
∴

cosθ=x+ 1 2 y sinθ= 3 2 y

；
∴

x=cosθ- 3 3 sinθ y= 2 3 3 sinθ

；
∴x+2y=cosθ+

3

sinθ=2(

1

2

cosθ+

3

2

sinθ)=2sin(θ+

π

6

)；
∵

π

6

≤θ+

π

6

≤

π

2

；
∴2sin(θ+

π

6

)≤2；
∴x+2y的最大值为2．
故选A．

点评：考查建立平面直角坐标系解决问题的方法，向量坐标的加法和数乘运算，以及两角和的正弦公式，正弦函数的最值．