Question

已知函数f（x）=x³-3a²x-6a²+3a（a＞0）有且仅有一个零点x₀，若x₀＞0，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由题意求导f′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a），则由题意知f（-a）=2a³-6a²+3a=2a（a-

3- 3

2

）（a-

3+ 3

2

）＜0，从而解得．

解答： 解：f′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a）；
则函数f（x）=x³-3a²x-6a²+3a在（-∞，-a）上是增函数，
在（-a，a）上是减函数，
在（a，+∞）上是增函数；
且f（-a）=2a³-6a²+3a=2a（a-

3- 3

2

）（a-

3+ 3

2

）；
则结合函数的图象知，
2a（a-

3- 3

2

）（a-

3+ 3

2

）＜0；
故

3- 3

2

＜a＜

3+ 3

2

；
故答案为：（

3- 3

2

，

3+ 3

2

）．

点评：本题考查了导数的综合应用及数形结合的数学思想应用，属于中档题．