Question

下列命题中是假命题的是（　　）

• A、?α、β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ
• B、?a＞0，函数f（x）=ln²x+lnx-a有零点
• C、?ϕ∈R，函数f（x）=sin（2x+ϕ）都不是偶函数
• D、?m∈R，使f(x)=(m-1)•xm2-4m+3是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：A．取α=β=2kπ（k∈Z），可得sin（α+β）=sinα+sinβ；
B．?a＞0，函数f（x）=ln²x+lnx-a=0，化为(lnx+

1

2

)2=

1

4

+a，一定有解，即可判断出；
C．取ϕ=

π

2

+2kπ(k∈Z)，函数f（x）=sin（2x+ϕ）=cos2x是偶函数；
D．取m=2，使f（x）=x^-1是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减．

解答： 解：A．取α=β=2kπ（k∈Z），可得sin（α+β）=sinα+sinβ，正确；
B．?a＞0，函数f（x）=ln²x+lnx-a=(lnx+

1

2

)2-

1

4

-a=0，化为(lnx+

1

2

)2=

1

4

+a，一定有解，因此函数f（x）有零点，正确；
C．取ϕ=

π

2

+2kπ(k∈Z)，函数f（x）=sin（2x+ϕ）=cos2x是偶函数，因此不正确；
D．取m=2，使f（x）=x^-1是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，正确．
故选：C．

点评：本题考查了简易逻辑的判定、三角函数的性质、函数的零点、幂函数的性质，考查了举反例否定一个命题的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．