Question

已知直线两直线l₁：xcosα+

1

2

y-1=0；l₂：y=xsin（α+

π

6

），△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，a=2

2

，c=4，且当α=A时，两直线恰好相互垂直；
（Ⅰ）求A值；
（Ⅱ）求b和△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由α=A，表示出两直线的斜率，由两直线垂直时斜率乘积为-1列出关系式，整理求出A的值即可；
（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，把a，c，cosA的值代入求出b的值，再由b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）当α=A时，直线l₁：xcosα+

1

2

y-1=0；l₂：y=xsin（α+

π

6

）的斜率分别为k₁=-2cosA，k₂=sin（A+

π

6

），
∵两直线相互垂直，
∴k₁k₂=-2cosAsin（A+

π

6

）=-1，即cosAsin（A+

π

6

）=

1

2

，
整理得：cosA（

3

2

sinA+

1

2

cosA）=

1

2

，即

3

2

sinAcosA+

1

2

cos²A=

1

2

，
化简得：

3

4

sin2A+

1+cos2A

4

=

1

2

，即

3

2

sin2A+

1

2

cos2A=sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，即0＜2A＜2π，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

；
（Ⅱ）∵a=2

3

，c=4，A=

π

3

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccos

π

3

，即12=b²+16-4b，
解得：b=2，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×2×

3

2

=2

3

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．