Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足

Sn

n

=n+2（n∈N^*）
（1）求数列a_n通项公式
（2）设b_n=

1

anan+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使T_n≤

m

72

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由

Sn

n

=n+2，得Sn=n2+2n．然后分n=1和n≥2求得数列的通项公式，验证首项后得答案；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=

1

anan+1

然后利用裂项相消法求和，代入T_n≤

m

72

求得最小正整数m的值．

解答： 解：（1）由

Sn

n

=n+2，得Sn=n2+2n．
当n=1时，a1=S1=12+2×1=3；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1．
验证n=1时上式成立，
∴a_n=2n+1；
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)．
∴Tn=

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

1

6

-

1

2(2n+3)

＜

1

6

．
由T_n≤

m

72

，得m≥72T_n，
∴m≥72×

1

6

=12．
即满足T_n≤

m

72

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m=12．

点评：本题考查了数列递推式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．