Question

已知正项等比数列{a_n}满足a₂₀₁₅=2a₂₀₁₃+a₂₀₁₄，若存在两项a_m、a_n使得

aman

=4a₁，则

1

m

+

4

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：设正项等比数列{a_n}的公比为q且q＞0，根据题意和等比数列的通项公式求出q，代入

aman

=4a₁利用指数的运算化简得：m+n=6，利用1的代换化简

1

m

+

4

n

，利用基本不等式求出最小值．

解答： 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q，则q＞0，
因为a₂₀₁₅=2a₂₀₁₃+a₂₀₁₄，所以q²=2+q，
解得q=2或q=-1（舍去），
因为存在两项a_m、a_n使得

aman

=4a₁，
所以

a1qm-1•a1qn-1

=4a1，化简得q^m+n-2=16，
即2^m+n-2=16=2⁴，所以m+n=6，
则

1

m

+

4

n

=

1

6

（m+n）（

1

m

+

4

n

）=

1

6

（5+

n

m

+

4m

n

）≥

1

6

(5+2

n m • 4m n

)=

3

2

，
当且仅当

n

m

=

4m

n

时取等号，
所以

1

m

+

4

n

的最小值是

3

2

，
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查等比数列的通项公式，基本不等式求最小值，1的代换，以及化简计算能力．