Question

如图，已知圆M：x²+（y-4）²=4，直线l的方程为x-2y=0，点P是直线l上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）当P的横坐标为

16

5

时，求∠APB的大小；
（2）求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出所有定点的坐标．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由题可知，圆M的半径r=2，P(

16

5

，

8

5

)，∠MAP=90°，根据MP=2r，可得∠MPA=30°，从而可求∠APB的大小；
（2）设P的坐标，求出经过A、P、M三点的圆的方程即可得到圆过定点．

解答： 解：（1）由题可知，圆M的半径r=2，P(

16

5

，

8

5

)，
因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°
又因MP=

(0- 16 5 )2+(4- 8 5 )2

=4=2r，
又∠MPA=30°，∠APB=60°； （6分）
（2）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，
所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，方程为：(x-b)2+(y-

b+4

2

)2=

4b2+(b-4)2

4

，
即（2x+y-4）b-（x²+y²-4y）=0
由

2x+y-4=0 x2+y2-4y=0

，解得

x=0 y=4

或

x= 8 5 y= 4 5

，
所以圆过定点(0，4)，(

8

5

，

4

5

)（6分）

点评：本题考查直线与圆的综合，考查圆过定点，考查两圆位置关系，确定圆的方程是关键．