Question

如图，在三棱锥P-ABC中，直线PA⊥平面ABC，且∠ABC=90°，又点Q，M，N分别是线段PB，AB，BC的中点，且点K是线段MN上的动点．
（1）证明：直线QK∥平面PAC；
（2）若PA=AB=BC，求二面角Q-AN-M的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）连结QM，由已知条件推导出平面QMN∥平面PAC，由此能证明QK∥平面PAC．
（2）过M作MH⊥AN于H，连QH，则∠QHM即为二面角Q-AN-M的平面角，由此能求出二面角Q-AN-M的平面角的余弦值．

解答： （1）证明：连结QM，∵点Q，M，N分别是线段PB，AB，BC的中点，
∴QM∥PA，MN∥AC，QM∥平面PAC，MN∥平面PAC，
∵MN∩QM=M，∴平面QMN∥平面PAC，QK?平面QMN，
∴QK∥平面PAC．
（2）解：过M作MH⊥AN于H，连QH，
则∠QHM即为二面角Q-AN-M的平面角，
令PA=AB=BC=2，则QM=AM=1，
∴此时sin∠MAH=sin∠BAN=

1

5

，MH=

1

5

，
记二面角Q-AN-M的平面角为θ，
则tanθ=

QM

MH

=

5

，∴cosθ=

6

6

，
∴二面角Q-AN-M的平面角的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．