Question

已知函数f（x）=2sin（ωx-

π

3

）（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．求y=g（x）在区间[0，10π]上零点的个数．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）直接把周期代入周期公式求ω值，则函数解析式可求，然后利用复合函数的单调性求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）利用函数图象的平移得到g（x）的解析式，由g（x）=0求得函数在一个周期内的零点个数，则y=g（x）在区间[0，10π]上零点的个数可求．

解答： 解：（Ⅰ）由周期为π，得ω=

2π

π

=2．
∴f（x）=2sin（2x-

π

3

）．
由正弦函数的单调增区间得
-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，
解得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z．
∴函数f（x）的单调增区间[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，再向上平移1个单位，
得到y=2sin2x+1的图象，
∴g（x）=2sin2x+1．
令g（x）=0，得：x=kπ+

7π

12

或x=kπ+

11π

12

 (k∈Z)．
∴函数在每个周期上恰有两个零点，
而[0，10π]恰为10个周期，
故g（x）在[0，10π]上有20个零点．

点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数图象的求法，考查了复合函数的单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”的原则，考查了函数零点的判断方法，是中档题．