Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中点，F是PC的中点．
（Ⅰ）求证：面PDE⊥面PAB；
（Ⅱ）求证：BF∥面PDE．
（Ⅲ）当PA=AB时，
①求直线PC与平面ABCD所成角的大小．
②求二面角P-DE-A所成角的正弦值的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（I）证明DE⊥AB，PA⊥DE，利用线面垂直的判定定理，可得DE⊥面PAB，从而可证面PDE⊥面PAB．
（Ⅱ）证明FG与BE平行且相等，可得BF∥GE，利用线面平行的判定可得BF∥面PDE．
（Ⅲ）①设AB=2，由已知条件推导出∠ACP是直线PC与平面ABCD所成的角，分别求出AC和AP，利用正切函数能求出直线PC与平面ABCD所成角的大小．
②以A为原点，AD为x轴，平面ABCD内过A垂直AD的直线为y轴，AO为z轴，建立空间直线坐标系，利用向量法能求出二面角P-DE-A所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，
∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中点，
∴DE⊥AB，PA⊥DE，
∵AB∩PA=A，∴DE⊥平面PAB，
∵DE?平面PDE，∴面PDE⊥面PAB．
（Ⅱ）证明：取PD的中点G，连结FG，GE，
∵F，G是中点，∴FG∥CD，且FG=

1

2

CD，
∴FG与BE平行且相等，∴BF∥GE，
∵GE?面PDE，BF不包含于平面PDE，
∴BF∥面PDE．
（Ⅲ）①设AB=2，
∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，
PA⊥面ABCD，E是AB的中点，F是PC的中点，PA=AB，
∴∠ACP是直线PC与平面ABCD所成的角，
∴AC=

4+4-2×2×2×cos120°

=2

3

，AP=2，
∴tan∠ACP=

2

2 3

=

3

3

，∴∠ACP=30°，
∴直线PC与平面ABCD所成角为30°．
②以A为原点，AD为x轴，平面ABCD内过A垂直AD的直线为y轴，
AO为z轴，建立空间直线坐标系，设AB=2，
由题意知P（0，0，2），D（2，0，0），E（

1

2

，

3

2

，0），
A（0，0，0），∴

PD

=（2，0，-2），

PE

=（

1

2

，

3

2

，-2），

AP

=（0，0，2），
设平面PDE的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • PD =2x-2z=0 n • PE = 1 2 x+ 3 2 y-2z=0

，
取x=1，得

n

=（1，

3

，1），
∵AP⊥平面ABCD，∴

AP

=（0，0，2）是平面ADE的一个法向量，
设二面角P-DE-A所成角的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n

，

AP

＞|=|

2

2× 5

|=

1

5

，
∴sinθ=

1-( 1 5 )2

=

2 5

5

．
∴二面角P-DE-A所成的角的正弦值为

2 5

5

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成的角的求法，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．