Question

在全国汉字听写大赛之前，某地先进行了共十轮的选拔赛，某研究机构一直关注其测试选拔过程．第二轮选拔后有450名学生进入下一轮，该机构利用分层抽样的方法抽取了90人进行跟踪调查，得到第三轮是否通过的数据如下表所示：

	考试未通过	考试通过	总计
女学生	27	36	63
男学生	9	18	27
总计	36	54	90

（Ⅰ）利用独立性检验估计第三轮通过与否与学生的性别是否有关？
（Ⅱ）估计全部450名学生通过第三轮测试的大约有多少人？
（Ⅲ）如果从第三轮测试通过的所有学生中利用分层抽样的方法抽取6名学生，然后从这6名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求着2名学生中至少有1名女学生的概率．
附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（其中n=a+b+c+d）

P（K2≥k）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

Answer 1

考点：独立性检验的应用,古典概型及其概率计算公式

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）计算K²，与临界值比较，即可得出结论；
（Ⅱ）求出学生通过第三轮测试的频率，即可估计全部450名学生通过第三轮测试的大约有多少人？
（Ⅲ）利用列举法确定从这6名学生中随机抽取2名学生的情况，至少有1名女生的取法，即可求出概率．

解答： 解：（Ⅰ）根据公式得，K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=

90×(27×18-36×9)2

63×27×36×54

=0.71＜1.323
…（2分）
所以我们认为是否通过第三轮测试与学生的性别无关．…（3分）
（Ⅱ）由样本数据可知，学生通过第三轮测试的频率为

54

90

=0.6．…（4分）
故450名学生中通过第三轮测试的大约有450×0.6=270（人）  …（6分）
（Ⅲ）根据表格，通过第三轮测试的男同学有36人，女同学18人，…（7分）
由分层抽样可知，抽取的6名学生中男学生有4名，分别记为A，B，C，D，女学生为2名，分别记为1，2．从中任选2名的不同取法为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，1}，{A，2}，{B，C}，{B，D}，{B，1}，{B，2}，{C，D}，{C，1}，{C，2}，{D，1}，{D，2}，{1，2}，共15种．…（10分）
其中至少有1名女生的取法为{A，1}，{A，2}，{B，1}，{B，2}，{C，1}，{C，2}，{D，1}，{D，2}，
{1，2}，共9种．…（11分）
所以所求事件的概率为

9

15

=

3

5

．…（12分）

点评：本题主要考查了独立性检验知识，考查概率的计算，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题