Question

如图，在正△ABC的边BC、CA、AB上分别取点P、Q、R，使CQ=2BP，AR=3BP．已知正三角形的边长是11cm，BP=xcm，△PQR的面积为S
（1）用解析式将S表示成x的函数；
（2）求S的最小值及相应的x值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先，求解△ABC、△BPR、△PCQ、△ARQ的面积，然后，求解得到将S表示成x的函数；
（2）根据（1），借助于二次函数的性质求解最值即可．

解答： 解：（1）∵BP=xcm，
∴AR=3x，CQ=2x，
∴BR=11-3x，
△BPR中，BP边上的高为

3 (11-3x)

2

，
△PCQ中，PC边上的高为

2 3 x

2

，
△ARQ中，AR边上的高为

3 (11-2x)

2

，
∴S=S_△ABC^-（S_△BPR+S_△PCQ+S_△ARQ）
=

11 3

4

(x2-6x+11)，
∴S=

11 3

4

(x2-6x+11)，（0＜x＜11），
（2）根据（1），
S=

11 3

4

(x2-6x+11)，
=

11 3

4

[(x-3)2+2]，
∵0＜x＜11，
∴当x=3时，S有最小值

11 3

2

．

点评：本题重点考查函数的解析式的求解方法，理解自变量的取值情形是解题的关键，属于难题．