Question

16．设等差数列{a_n}前n项和为S_n，公差d≠0．
（1）若a₁=1，且数列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：1，$\sqrt{3}$，2不可能是等差数列{a_n}中的三项．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出．
（2）假设1，$\sqrt{3}$，2分别为等差数列{a_n}中第m，n，r项，则$\left\{\begin{array}{l}{1={a}_{1}+（m-1）d}\\{\sqrt{3}={a}_{1}+（n-1）d}\\{2={a}_{1}+（r-1）d}\end{array}\right.$，可得$\sqrt{3}$-1=$\frac{n-m}{r-m}$，而左边为无理数，右边为有理数即可得出矛盾．

解答 （1）解：∵数列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是等差数列，
∴$2×\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{S}_{3}}{{a}_{3}}$，∴$\frac{2（2+d）}{1+d}$=1+$\frac{3+3d}{1+2d}$，化为d²-d=0，∵d≠0，解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）证明：假设1，$\sqrt{3}$，2分别为等差数列{a_n}中第m，n，r项，
则$\left\{\begin{array}{l}{1={a}_{1}+（m-1）d}\\{\sqrt{3}={a}_{1}+（n-1）d}\\{2={a}_{1}+（r-1）d}\end{array}\right.$，
解得$\sqrt{3}$-1=$\frac{n-m}{r-m}$，
∵m，n，r为正整数，∴上式左端为无理数，右端为有理数，故等式不能成立，
因此，假设不成立，因此1，$\sqrt{3}$，2不可能为等差数列{a_n}中的三项．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、实数的性质、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．