Question

7．已知函数f（x）=lnx-bx+c，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由求导公式、法则求出f′（x），根据题意和导数的几何意义求出b的值，将（1，f（1））代入方程x+y+4=0求出f（1），代入解析式列出方程求出c，即可求出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（I）求出函数的定义域和f′（x），求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即可求出函数f（x）的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=$\frac{1}{x}$-b，则f′（1）=1-b，
∵在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0，
∴切线斜率为-1，则1-b=-1，得b=2，
将（1，f（1））代入方程x+y+4=0，
得：1+f（1）+4=0，解得f（1）=-5，
∴f（1）=-b+c=-5，将b=2代入得c=-3，
故f（x）=lnx-2x-3；
（Ⅱ）依题意知函数的定义域是（0，+∞），且f′（x）=$\frac{1}{x}$-2，
令f′（x）＞0得，0＜x＜$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0得，x＞$\frac{1}{2}$，
故f（x）的单调增区间为（0，$\frac{1}{2}$），单调减区间为（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查求导公式和法则，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性问题，是一道中档题．